क्रमचय और संचय | क्रमचय ,संचय आधारित प्रश्न

इस पोस्ट में, हमने क्रमचय और संचय | क्रमचय ,संचय आधारित प्रश्न से संबंधित सभी महत्वपूर्ण बातों को शामिल किया है। 

क्रमचय ,संचय क्या है? क्रमचय ,संचय फार्मूला क्रमचय ,संचय आधारित प्रश्न 

क्रमचय किसे कहते है ? संचय किसे कहते है ? क्रमचय के सूत्र  ,संचय सूत्र इन टॉपिक की सभी महत्वपूर्ण जानकारी दी गयी है।

क्रमचय 

क्रमचय किसी सेट के सभी सदस्यों को किसी क्रम में व्यवस्थित करने के कार्य से संबंधित है 

क्रमचय ( Permutations ) क्रमचय की परिभाषा

दी गई वस्तुओं में से कुछ या सभी वस्तुओं को लेकर किए गए विभिन्न विन्यासों ( arrangements ) में से प्रत्येक को क्रमचय कहते हैं । या n विभिन्न वस्तुओं में से r को एकसाथ लेकर बने क्रमचयों की संख्या को  _nP^r , से निरूपित करते हैं ।

संचय

संचय एक संग्रह से आइटम का चयन करने का एक तरीका है, जैसे कि (क्रमचय के विपरीत) चयन का क्रम मायने नहीं रखता है।

संचय ( Permutations ) संचय की परिभाषा

संचय ( Combinations ) दी गई वस्तुओं में से कुछ या सभी को लेकर बने समूहों में प्रत्येक समूह को एक संचय कहते हैं ।

n विभिन्न वस्तुओं में से वस्तुओं को लेकर बने संचयों की संख्या _nC^r , या C ( n , r ) 

नोट क्रमचय में वस्तुओं के क्रम को महत्त्व दिया जाता है तथा संचय में वस्तुओं के क्रम को महत्त्व नहीं दिया जाता है ।

क्रमचय संचय के सूत्र

क्रमचय के सूत्र

क्रमचय सूत्र

एक क्रमचय  n चीजों के सेट से बिना प्रतिस्थापन के r चीजों का विकल्प है और जहां ऑर्डर मायने रखता है।

{ }^{n} P_{r}=\frac{n !}{(n-r) !} , \forall \quad 0 \leq r \leq n

👉सभी n वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या =n!

{ }^{n} P_{0}=1

{ }^{n} P_{1}=n

{ }^{n} P_{n-1}=n!

{ }^{n} P_{r}=n^{n-1} P_{r-1}

{ }^{n-1} P_{r}=(n-r)^{n-1} P_{r-1}

{ }^{n} P_{r}=r ^{n-1} P_{r-1}+{ }^{n-1} P_{r}

👉यदि n वस्तुओं में से p वस्तुएँ एक प्रकार की, q वस्तुएँ दूसरे प्रकार की, r वस्तुएँ तीसरे प्रकार की हों तथा शेष वस्तुएँ भिन्न-भिन्न प्रकार की हों, तब सभी n वस्तुओं को एकसाथ लेकर बने क्रमचयों की संख्या

=\frac{n !}{p ! q ! r !}

👉यदि n वस्तुओं में से r वस्तुओं को लेकर, जिनमें प्रत्येक वस्तु की पुनरावृत्ति हो सकती है, बने कुल क्रमचयों की संख्या

=n^{r}

👉n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को एकसाथ लेकर, जब एक विशेष वस्तु प्रत्येक विन्यास में अवश्य ली जाए, बने कुल क्रमचयों की संख्या

=r^{n-1} P_{r-1}

👉n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को लेकर, जब एक विशेष वस्तु प्रत्येक विन्यास में अवश्य नहीं ली जाए, बने कुल क्रमचयों की संख्या

= { }^{n-1} P_{r}

👉n विभिन्न वस्तुओं को लेकर, जिनमें से m वस्तुएँ सदेव एकसाथ आए, बने कुल क्रमचयों की संख्या

=m!\times(n-m+1)!

👉n विभिन्न वस्तुओं को लेकर, जिनमें m वस्तुएँ सदैव एकसाथ न आए, बने कुल क्रमचयों की संख्या

=n!-m!\times(n-m+1)!

संचय सूत्र

एक संचय बिना प्रतिस्थापन के n चीजों के एक सेट से r चीजों का विकल्प है और जहां ऑर्डर मायने नहीं रखता है।

{ }^{n} C_{r}= \frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)}{r !}

=\frac{n !}{r !(n-r) !}=\frac{{ }^{n} P_{r}}{r !}

👉{ }^{n} C_{0}={ }^{n} C_{n} =1
👉{ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-r}
👉{ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}
👉{ }^{n} C_{x}={ }^{n} C_{y} \Rightarrow x=y या x+y=n
👉n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएँ लेकर, जब p वस्तुएँ सदैव ली जाए, बने संचयों की संख्या

= { }^{n-p} C_{r-p}

👉n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएँ लेकर, जब p वस्तुएँ कभी भी न ली जाए, बने संचयों की संख्या

={ }^{n-{ }{ }^{p}} \mathrm{C}_{r}

👉n विभिन्न वस्तुओं में से कम-से-कम एक वस्तु लेकर बने क्रमचयों की संख्या

={ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}=2^{n}-1

👉 n समान वस्तुओं में से r वस्तुएँ (r \leq n) लेकर बने संचयों की संख्या = 1
👉 एक प्रकार की n वस्तुओं में से r(r=0,1,2,3, \ldots, n) वस्तुएँ लेकर बने संचयों की संख्या =n+1
👉( p+q+r+t ) वस्तुओं में से p वस्तुएँ एक प्रकार की, q दूसरे प्रकार की, r तीसरे प्रकार की तथा t वस्तुएँ भिन्न प्रकार की हैं, तब कुल संचयों की संख्या =(p+1)(q+1)(r+1) 2^{r}-1

क्रमचय और संचय आधारित प्रश्न क्रमचय और संचय के सवाल

उदाहरण 1: यदि n = 12 और r = 2 हो तो क्रमचय और संचय की संख्या ज्ञात करें।
हल: दिया गया
n = 12r = 2
ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करना:
क्रमचय 
_nP^r = (n!) / (n-r)! = (12!) / (12 – 2)! = 12! / 10! = (12 x 11 x 10!) / 10! = 132
संचय
_nC^r = n! / r! (n-r)!   = 12! /2! (12-2)! = 12! 2! (10)! = 12 × 11 × 10! 2! (10)! = 66

प्रश्न 1: “DELHI” शब्द से 3 अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
sol: शब्द “DELHI” में 5 अलग-अलग शब्द हैं।
इसलिए, आवश्यक शब्दों की संख्या = 5P3 = 5! / (5 – 3)!
आवश्यक शब्दों की संख्या = 5! / 2! = 120/2 = 60

प्रश्न 2: “DRIVER” शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्दों का निर्माण किया जा सकता है  सभी स्वर कभी एक साथ न  हो ?
SOL: हम सभी स्वरों को एक वर्ण मानते हैं, अर्थात्, “IE” एक एकल वर्ण है।
तो, अब हमारे पास शब्द में कुल 5 वर्ण हैं, जैसे कि, D, R, V, R, IE।
लेकिन, R 2 बार होता है।
संभावित व्यवस्थाओं की संख्या = 5! / 2! = 60अब, 2 स्वरों को 2 में व्यवस्थित किया जा सकता है! = 2 तरीके।
संभव शब्दों की कुल संख्या जैसे कि स्वर हमेशा एक साथ होते हैं = 60 x 2 = 120
इसके अलावा, संभव शब्दों की कुल संख्या = 6! / 2! = 720/2 = 360
इसलिए, संभव शब्दों की कुल संख्या जैसे कि स्वर कभी एक साथ नहीं होते हैं = 360 – 120 = 240

प्रश्न 3: हम 15  दी गई पसंद में से 4 छात्रों की टीम का चयन कितने तरीकों से कर सकते हैं?
SOL: चयन के संभावित तरीकों की संख्या = 15 C 4 = 15! / [(4!) X (11!)]
=> चयन के संभावित तरीकों की संख्या = (15 x 14 x 13 x 12) / (4 x 3 x 2 x 1) = 1365